不等式 $\frac{2}{x-2} < 2-x$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{2}{x-2} < 2-x$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$\frac{2}{x-2} < 2-x$

両辺に $x-2$ を掛けることを考えますが、$x-2$ の符号によって不等号の向きが変わるため、場合分けが必要です。

(i) $x-2 > 0$、すなわち $x > 2$ のとき

両辺に $x-2$ を掛けると、

$2 < (2-x)(x-2)$

$2 < -x^2 + 4x - 4$

$x^2 - 4x + 6 < 0$

この2次不等式を解くために、$x^2 - 4x + 6 = 0$ の判別式を計算します。

$D = (-4)^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 < 0$

判別式が負なので、$x^2 - 4x + 6$ は常に正です。したがって、$x^2 - 4x + 6 < 0$ を満たす $x$ は存在しません。

(ii) $x-2 < 0$、すなわち $x < 2$ のとき

両辺に $x-2$ を掛けると、不等号の向きが変わって

$2 > (2-x)(x-2)$

$2 > -x^2 + 4x - 4$

$x^2 - 4x + 6 > 0$

$x^2 - 4x + 6$ は常に正であるため、$x^2 - 4x + 6 > 0$ は常に成り立ちます。したがって、$x<2$ の範囲全てが解となります。ただし、$x \neq 2$ です。

まとめると、$x<2$ が解です。

3. 最終的な答え

$x < 2$