関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 6a$ において、$1 \le x \le 2$ の範囲での最小値が 9 であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 6a$ において、$1 \le x \le 2$ の範囲での最小値が 9 であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + 6a = (x - a)^2 - a^2 + 6a$

したがって、軸は $x = a$ となります。

次に、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 1$ のとき、つまり軸が範囲 $1 \le x \le 2$ の左側にあるとき、関数 $f(x)$ は区間内で単調増加であるため、$x = 1$ で最小値をとります。

$f(1) = 1 - 2a + 6a = 4a + 1 = 9$ より、 $4a = 8$ となり、$a = 2$ となります。これは、$a < 1$ に矛盾するため、不適です。

(ii) $1 \le a \le 2$ のとき、つまり軸が範囲 $1 \le x \le 2$ の間にあるとき、関数 $f(x)$ は $x = a$ で最小値をとります。

$f(a) = a^2 - 2a^2 + 6a = -a^2 + 6a = 9$ より、$a^2 - 6a + 9 = 0$ となり、$(a - 3)^2 = 0$ より、$a = 3$ となります。これは、$1 \le a \le 2$ に矛盾するため、不適です。

(iii) $a > 2$ のとき、つまり軸が範囲 $1 \le x \le 2$ の右側にあるとき、関数 $f(x)$ は区間内で単調減少であるため、$x = 2$ で最小値をとります。

$f(2) = 4 - 4a + 6a = 2a + 4 = 9$ より、$2a = 5$ となり、$a = \frac{5}{2} = 2.5$ となります。これは、$a > 2$ を満たすため、適しています。

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{2}$