いくつか問題があるので、1つずつ答えます。 (8) $\sin{B} \cos{C} = \sin{C} \cos{B}$が成り立つとき、三角形ABCはどのような形か。 (9) 男子5人、女子3人が1列に並ぶとき、 (1) 女子3人が皆隣り合う並び方は何通りあるか。 (2) 女子どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。 (10) 10人をAまたはBの2部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、全員を1つの部屋へ入れても良い。 (11) 桃、柿、みかんの3種類の果物の中から7個の果物を買う。 (1) 買わない果物があっても良い場合、何通りの買い方があるか。 (12) 白玉3個と赤玉6個が入った袋から1個の玉を取り出し、色を調べてからもとに戻すことを7回行う。4回目に2度目の赤玉が出て、7回目に4度目の白玉が出る確率を求めよ。 (13) 袋Aには白玉4個と黒玉5個、袋Bには白玉3個と黒玉2個が入っている。まずAから2個を取り出してBに入れ、次にBから2個を取り出してAに戻す。このとき、Aの中の白玉と黒玉の個数が初めと変わらない確率を求めよ。

1. 問題の内容

いくつか問題があるので、1つずつ答えます。

(8) $\sin{B} \cos{C} = \sin{C} \cos{B}$が成り立つとき、三角形ABCはどのような形か。

(9) 男子5人、女子3人が1列に並ぶとき、

(1) 女子3人が皆隣り合う並び方は何通りあるか。

(2) 女子どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。

(10) 10人をAまたはBの2部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、全員を1つの部屋へ入れても良い。

(11) 桃、柿、みかんの3種類の果物の中から7個の果物を買う。

(1) 買わない果物があっても良い場合、何通りの買い方があるか。

(12) 白玉3個と赤玉6個が入った袋から1個の玉を取り出し、色を調べてからもとに戻すことを7回行う。4回目に2度目の赤玉が出て、7回目に4度目の白玉が出る確率を求めよ。

(13) 袋Aには白玉4個と黒玉5個、袋Bには白玉3個と黒玉2個が入っている。まずAから2個を取り出してBに入れ、次にBから2個を取り出してAに戻す。このとき、Aの中の白玉と黒玉の個数が初めと変わらない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(8)

$\sin{B} \cos{C} = \sin{C} \cos{B}$ を変形すると、

$\sin{B} \cos{C} - \sin{C} \cos{B} = 0$

$\sin{(B-C)} = 0$

$B-C = 0$

$B = C$

よって、二等辺三角形

(9)

(1) 女子3人をひとまとめにして考えると、6人並ぶので6!通り。女子3人の並び方は3!通り。

よって、6! * 3! = 720 * 6 = 4320通り

(2) まず男子5人を並べると5!通り。男子の間と端の6箇所から3箇所を選んで女子を並べるので、$_{6}P_{3}$通り。

よって、5! * $_{6}P_{3}$ = 120 * 6 * 5 * 4 = 120 * 120 = 14400通り

(10) 各人はAかBのどちらかの部屋に入る2通りがあるので、全部で$2^{10} = 1024$通り。

(11)

(1) 3種類の果物から重複を許して7個選ぶ組み合わせなので、

$_{3+7-1}C_{7} = _{9}C_{7} = _{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$通り

(12)

4回目に2度目の赤玉が出るということは、3回中1回赤玉が出て、4回目に赤玉が出る確率です。

3回中1回赤玉が出る確率は、$_{3}C_{1} \times (\frac{6}{9})^1 \times (\frac{3}{9})^2 = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

4回目に赤玉が出る確率は$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

よって、$\frac{2}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{27}$

7回目に4度目の白玉が出るということは、6回中3回白玉が出て、7回目に白玉が出る確率です。

6回中3回白玉が出る確率は、$_{6}C_{3} \times (\frac{3}{9})^3 \times (\frac{6}{9})^3 = 20 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^3 = 20 \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27} = \frac{160}{729}$

7回目に白玉が出る確率は$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

よって、$\frac{160}{729} \times \frac{1}{3} = \frac{160}{2187}$

(13)

Aから2個取り出す組み合わせは、

白白: $\frac{_{4}C_{2}}{_{9}C_{2}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

白黒: $\frac{_{4}C_{1} \times _{5}C_{1}}{_{9}C_{2}} = \frac{4 \times 5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

黒黒: $\frac{_{5}C_{2}}{_{9}C_{2}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Bから2個取り出す組み合わせは、BにAから取り出した玉が入った状態で考える必要があります。

場合分けして考えます。

(i) Aから白白を取り出した場合、Bは白5個、黒2個

白白: $\frac{_{5}C_{2}}{_{7}C_{2}} = \frac{10}{21}$

白黒: $\frac{_{5}C_{1} \times _{2}C_{1}}{_{7}C_{2}} = \frac{10}{21}$

黒黒: $\frac{_{2}C_{2}}{_{7}C_{2}} = \frac{1}{21}$

(ii) Aから白黒を取り出した場合、Bは白4個、黒3個

白白: $\frac{_{4}C_{2}}{_{7}C_{2}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

白黒: $\frac{_{4}C_{1} \times _{3}C_{1}}{_{7}C_{2}} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

黒黒: $\frac{_{3}C_{2}}{_{7}C_{2}} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

(iii) Aから黒黒を取り出した場合、Bは白3個、黒4個

白白: $\frac{_{3}C_{2}}{_{7}C_{2}} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

白黒: $\frac{_{3}C_{1} \times _{4}C_{1}}{_{7}C_{2}} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

黒黒: $\frac{_{4}C_{2}}{_{7}C_{2}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

Aの中の白玉と黒玉の数が変わらないのは、Aから白白を取り出してBから白白を取り出す、またはAから黒黒を取り出してBから黒黒を取り出す、またはAから白黒を取り出してBから白黒を取り出す場合です。

$\frac{1}{6} \times \frac{10}{21} + \frac{5}{18} \times \frac{3}{21} + \frac{5}{9} \times \frac{12}{21} = \frac{10}{126} + \frac{15}{378} + \frac{60}{189} = \frac{30+15+120}{378} = \frac{165}{378} = \frac{55}{126}$

3. 最終的な答え

(8) $B = C$ の二等辺三角形

(9) (1) 4320通り (2) 14400通り

(10) 1024通り

(11) 36通り

(12) $\frac{160}{2187}$

(13) $\frac{55}{126}$