袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、以下の条件を満たす取り出し方は何通りあるか。ただし、玉はすべて区別するものとする。 (1) 3個が同じ色である。 (2) 少なくとも1個は白玉である。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、以下の条件を満たす取り出し方は何通りあるか。ただし、玉はすべて区別するものとする。

(1) 3個が同じ色である。

(2) 少なくとも1個は白玉である。

2. 解き方の手順

(1) 3個が同じ色である場合

赤玉5個から3個を取り出す場合と、白玉3個から3個を取り出す場合がある。

赤玉5個から3個を取り出す組み合わせは、$_{5}C_{3}$通りである。

白玉3個から3個を取り出す組み合わせは、$_{3}C_{3}$通りである。

したがって、3個が同じ色である場合の数は、$_{5}C_{3}$ + $_{3}C_{3}$で求められる。

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_{3}C_{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

したがって、3個が同じ色である場合の数は、 $10 + 1 = 11$通りである。

(2) 少なくとも1個は白玉である場合

全体の場合の数から、白玉が1つも含まれない場合（つまり、3個とも赤玉である場合）を引けばよい。

全体の場合の数は、8個の玉から3個を取り出す場合の数なので、$_{8}C_{3}$通りである。

3個とも赤玉である場合の数は、$_{5}C_{3}$通りである。

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、少なくとも1個は白玉である場合の数は、 $56 - 10 = 46$通りである。

3. 最終的な答え

(1) 11通り

(2) 46通り