1個のサイコロを投げたとき、以下の事象A, B, C, Dを定義する。 * A: 偶数の目が出る * B: 3の倍数の目が出る * C: 奇数の目が出る * D: 5の約数の目が出る このとき、以下の問いに答える。 (1) 事象AとBの積事象 $A \cap B$ の確率を求めよ。 (2) 事象AとBの和事象 $A \cup B$ の確率を求めよ。 (3) 事象A, B, C, Dのうち、互いに排反であるものはどれとどれか。

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げたとき、以下の事象A, B, C, Dを定義する。

* A: 偶数の目が出る

* B: 3の倍数の目が出る

* C: 奇数の目が出る

* D: 5の約数の目が出る

このとき、以下の問いに答える。

(1) 事象AとBの積事象 $A \cap B$ の確率を求めよ。

(2) 事象AとBの和事象 $A \cup B$ の確率を求めよ。

(3) 事象A, B, C, Dのうち、互いに排反であるものはどれとどれか。

2. 解き方の手順

(1) 事象A, Bが起こる確率を求める。$A \cap B$ は、AとBが同時に起こる事象なので、偶数かつ3の倍数の目が出る確率を求める。サイコロの目は1から6なので、偶数かつ3の倍数の目は6のみである。

よって、$A \cap B$の確率は、

$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

(2) 和事象 $A \cup B$ の確率を求める。$A \cup B$ は、AまたはBが起こる事象なので、偶数または3の倍数の目が出る確率を求める。偶数は2, 4, 6の3つ、3の倍数は3, 6の2つ。重複している6は1回だけ数える。よって、2, 3, 4, 6の4つ。

$P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

または、$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(3) 互いに排反な事象は、同時に起こりえない事象の組み合わせである。

事象A（偶数）とC（奇数）は、同時に起こりえない。

事象B（3の倍数）は{3, 6}、事象D(5の約数)は{1,5}なので、同時に起こりえない。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) AとC、BとD