離散確率変数の組 $(X, Y)$ の同時確率密度関数が表で与えられている。このとき、以下の問題を解く。 (1) $X, Y$ それぞれの周辺確率密度を求める。 (2) $X, Y$ は独立か否かを判定する。 (3) $X, Y$ それぞれの期待値および分散を求める。 (4) $X, Y$ の共分散および相関係数を求める。

## 問題3の解答

1. 問題の内容

離散確率変数の組 $(X, Y)$ の同時確率密度関数が表で与えられている。このとき、以下の問題を解く。

(1) $X, Y$ それぞれの周辺確率密度を求める。

(2) $X, Y$ は独立か否かを判定する。

(3) $X, Y$ それぞれの期待値および分散を求める。

(4) $X, Y$ の共分散および相関係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 周辺確率密度関数を求める

周辺確率密度関数は、同時確率密度関数を特定の変数について周辺化することによって求められる。

* $P(X=x) = \sum_{y} P(X=x, Y=y)$

* $P(Y=y) = \sum_{x} P(X=x, Y=y)$

表から、それぞれの周辺確率密度関数を計算する。

(2) 独立性の判定

$X$と$Y$が独立であるための必要十分条件は、$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ が全ての$x, y$について成り立つことである。

周辺確率密度関数を用いて、この条件が満たされるかどうかを判定する。

(3) 期待値と分散を求める

期待値と分散は、それぞれの確率変数について以下の式で計算される。

* $E[X] = \sum_{x} x P(X=x)$

* $E[Y] = \sum_{y} y P(Y=y)$

* $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \sum_{x} x^2 P(X=x) - (E[X])^2$

* $V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \sum_{y} y^2 P(Y=y) - (E[Y])^2$

周辺確率密度関数を用いて、これらの値を計算する。

(4) 共分散と相関係数を求める

共分散と相関係数は、以下の式で計算される。

* $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \sum_{x} \sum_{y} xy P(X=x, Y=y) - E[X]E[Y]$

* $\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V[X]V[Y]}}$

同時確率密度関数、期待値、分散を用いて、これらの値を計算する。

3. 最終的な答え

(1) 周辺確率密度関数:

* $P(X=0) = \frac{1}{5} + \frac{4}{25} + \frac{1}{25} = \frac{5+4+1}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

* $P(X=1) = \frac{4}{25} + \frac{1}{25} + \frac{2}{25} = \frac{7}{25}$

* $P(X=2) = \frac{1}{25} + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} = \frac{1+2+5}{25} = \frac{8}{25}$

* $P(Y=1) = \frac{1}{5} + \frac{4}{25} + \frac{1}{25} = \frac{5+4+1}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

* $P(Y=2) = \frac{4}{25} + \frac{1}{25} + \frac{2}{25} = \frac{7}{25}$

* $P(Y=3) = \frac{1}{25} + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} = \frac{1+2+5}{25} = \frac{8}{25}$

(2) 独立性の判定:

$P(X=0, Y=1) = \frac{1}{5}$

$P(X=0)P(Y=1) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

$\frac{1}{5} \neq \frac{4}{25}$

したがって、$X$と$Y$は独立ではない。

(3) 期待値と分散:

* $E[X] = 0 \cdot \frac{2}{5} + 1 \cdot \frac{7}{25} + 2 \cdot \frac{8}{25} = \frac{7}{25} + \frac{16}{25} = \frac{23}{25}$

* $E[Y] = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{7}{25} + 3 \cdot \frac{8}{25} = \frac{10}{25} + \frac{14}{25} + \frac{24}{25} = \frac{48}{25}$

* $E[X^2] = 0^2 \cdot \frac{2}{5} + 1^2 \cdot \frac{7}{25} + 2^2 \cdot \frac{8}{25} = \frac{7}{25} + \frac{32}{25} = \frac{39}{25}$

* $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{39}{25} - (\frac{23}{25})^2 = \frac{39}{25} - \frac{529}{625} = \frac{975-529}{625} = \frac{446}{625}$

* $E[Y^2] = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 2^2 \cdot \frac{7}{25} + 3^2 \cdot \frac{8}{25} = \frac{10}{25} + \frac{28}{25} + \frac{72}{25} = \frac{110}{25} = \frac{22}{5}$

* $V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{22}{5} - (\frac{48}{25})^2 = \frac{110}{25} - \frac{2304}{625} = \frac{2750-2304}{625} = \frac{446}{625}$

(4) 共分散と相関係数:

$E[XY] = \sum_{x} \sum_{y} xy P(X=x, Y=y) = (0)(1)\frac{1}{5} + (0)(2)\frac{4}{25} + (0)(3)\frac{1}{25} + (1)(1)\frac{4}{25} + (1)(2)\frac{1}{25} + (1)(3)\frac{2}{25} + (2)(1)\frac{1}{25} + (2)(2)\frac{2}{25} + (2)(3)\frac{1}{5} = 0+0+0+\frac{4}{25} + \frac{2}{25} + \frac{6}{25} + \frac{2}{25} + \frac{8}{25} + \frac{6}{25} = \frac{28}{25}$

$Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{28}{25} - \frac{23}{25} \cdot \frac{48}{25} = \frac{28}{25} - \frac{1104}{625} = \frac{700 - 1104}{625} = -\frac{404}{625}$

$\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V[X]V[Y]}} = \frac{-\frac{404}{625}}{\sqrt{\frac{446}{625} \cdot \frac{446}{625}}} = -\frac{404}{446} = -\frac{202}{223} \approx -0.9058$

まとめ

(1) 周辺確率密度関数: 上記参照

(2) 独立ではない

(3) 期待値と分散: $E[X] = \frac{23}{25}$, $E[Y] = \frac{48}{25}$, $V[X] = \frac{446}{625}$, $V[Y] = \frac{446}{625}$

(4) 共分散と相関係数: $Cov(X, Y) = -\frac{404}{625}$, $\rho(X, Y) \approx -0.9058$