確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} c(x^2 - x^4) & (|x| \le 1) \\ 0 & (|x| > 1) \end{cases} $ ここで、$c$ は実定数です。このとき、以下の問いに答えます。 (1) 定数 $c$ はどのような値でなければならないか？ (2) 確率変数 $X$ の分布関数を求めよ。 (3) 確率変数 $X$ の期待値と分散を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。

$$

f(x) =

\begin{cases}

c(x^2 - x^4) & (|x| \le 1) \\

0 & (|x| > 1)

\end{cases}

$$

ここで、$c$ は実定数です。このとき、以下の問いに答えます。

(1) 定数 $c$ はどのような値でなければならないか？

(2) 確率変数 $X$ の分布関数を求めよ。

(3) 確率変数 $X$ の期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 確率密度関数の性質より、全区間における積分が1になる必要があります。すなわち、

$$

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1

$$

この問題の場合、$|x| > 1$ で $f(x) = 0$ なので、

$$

\int_{-1}^{1} c(x^2 - x^4) dx = 1

$$

$c$ を求めるためにこの積分を計算します。

$$

\int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15}

$$

したがって、$c \cdot \frac{4}{15} = 1$ より、$c = \frac{15}{4}$ となります。

(2) 分布関数 $F(x)$ は、

$$

F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt

$$

で定義されます。

- $x < -1$ のとき、$F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0$

- $-1 \le x \le 1$ のとき、

$$

F(x) = \int_{-\infty}^{-1} 0 dt + \int_{-1}^{x} \frac{15}{4}(t^2 - t^4) dt = \frac{15}{4} \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^{x} = \frac{15}{4} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) \right) = \frac{15}{4} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + \frac{2}{15} \right) = \frac{5}{4} x^3 - \frac{3}{4} x^5 + \frac{1}{2}

$$

- $x > 1$ のとき、$F(x) = \int_{-\infty}^{1} f(t) dt = 1$

(3) 期待値 $E[X]$ は、

$$

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

$$

で与えられます。

$$

E[X] = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{15}{4}(x^2 - x^4) dx = \frac{15}{4} \int_{-1}^{1} (x^3 - x^5) dx = \frac{15}{4} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6} \right]_{-1}^{1} = \frac{15}{4} \left( \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) \right) = 0

$$

分散 $V[X]$ は、

$$

V[X] = E[X^2] - (E[X])^2

$$

で与えられます。$E[X] = 0$ より、$V[X] = E[X^2]$ です。

$$

E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{15}{4}(x^2 - x^4) dx = \frac{15}{4} \int_{-1}^{1} (x^4 - x^6) dx = \frac{15}{4} \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right]_{-1}^{1} = \frac{15}{4} \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{7} \right) = \frac{15}{4} \cdot 2 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{3}{7}

$$

したがって、$V[X] = \frac{3}{7}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{15}{4}$

(2)

$$

F(x) =

\begin{cases}

0 & (x < -1) \\

\frac{5}{4} x^3 - \frac{3}{4} x^5 + \frac{1}{2} & (-1 \le x \le 1) \\

1 & (x > 1)

\end{cases}

$$

(3) $E[X] = 0$, $V[X] = \frac{3}{7}$