A, Bの2つのチームが野球の試合を行う。先に4勝したチームが優勝する。1回の試合でAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$であり、引き分けは起こらないとき、Aが優勝する確率を求める。

1. 問題の内容

A, Bの2つのチームが野球の試合を行う。先に4勝したチームが優勝する。1回の試合でAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$であり、引き分けは起こらないとき、Aが優勝する確率を求める。

2. 解き方の手順

Aが優勝する確率は、4勝0敗、4勝1敗、4勝2敗、4勝3敗のいずれかの確率の和で求められる。

(i) 4勝0敗の場合：

Aが4連勝する場合であり、その確率は

$(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$

(ii) 4勝1敗の場合：

4勝1敗でAが優勝する場合、最後の試合はAが勝つ必要があるので、最初の4試合でAが3勝1敗となる確率を考えれば良い。これは、4試合中1試合でBが勝利するという組み合わせを考えれば良いので、${}_4C_1 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^1$となる。

したがって、確率は

${}_4C_1 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^1 \times \frac{1}{3} = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{243}$

(iii) 4勝2敗の場合：

4勝2敗でAが優勝する場合、最後の試合はAが勝つ必要があるので、最初の5試合でAが3勝2敗となる確率を考えれば良い。これは、5試合中2試合でBが勝利するという組み合わせを考えれば良いので、${}_5C_2 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2$となる。

したがって、確率は

${}_5C_2 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{729}$

(iv) 4勝3敗の場合：

4勝3敗でAが優勝する場合、最後の試合はAが勝つ必要があるので、最初の6試合でAが3勝3敗となる確率を考えれば良い。これは、6試合中3試合でBが勝利するという組み合わせを考えれば良いので、${}_6C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^3$となる。

したがって、確率は

${}_6C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^3 \times \frac{1}{3} = 20 \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{160}{2187}$

Aが優勝する確率は上記を合計して、

$\frac{1}{81} + \frac{8}{243} + \frac{40}{729} + \frac{160}{2187} = \frac{27}{2187} + \frac{72}{2187} + \frac{120}{2187} + \frac{160}{2187} = \frac{379}{2187}$

3. 最終的な答え

$\frac{379}{2187}$