1, 2, 3, 4の数字が書かれた玉がそれぞれたくさんある。この中から、重複を許して6個の玉を取る組み合わせの総数を求めよ。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4の数字が書かれた玉がそれぞれたくさんある。この中から、重複を許して6個の玉を取る組み合わせの総数を求めよ。

2. 解き方の手順

これは重複組み合わせの問題です。

1, 2, 3, 4の数字が書かれた玉をそれぞれ $x_1, x_2, x_3, x_4$個選ぶとすると、

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6$

という式が成り立ちます。ここで、$x_i$は0以上の整数です。

この式の整数解の個数を求める問題になります。

重複組み合わせの公式を使うと、

${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$

ここで、$n$は選択肢の数、$r$は選択する個数です。

この問題では、$n = 4, r = 6$なので、

${}_{4}H_{6} = {}_{4+6-1}C_{6} = {}_{9}C_{6}$

${}_{9}C_{6} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

3. 最終的な答え

84