桃、柿、みかんの3種類の果物の中から合計7個の果物を買うとき、以下の2つの場合における買い方の総数を求めます。 (1) 買わない果物があってもよい場合 (2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

1. 問題の内容

桃、柿、みかんの3種類の果物の中から合計7個の果物を買うとき、以下の2つの場合における買い方の総数を求めます。

(1) 買わない果物があってもよい場合

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

2. 解き方の手順

(1) 買わない果物があってもよい場合

これは重複組み合わせの問題です。3種類の果物から7個を選ぶ重複組み合わせの総数を求めます。重複組み合わせの公式は $_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$ です。この問題では、$n=3$ (果物の種類数) で、$r=7$ (買う果物の個数) です。したがって、

$_{3}H_{7} = _{3+7-1}C_{7} = _{9}C_{7}$

$_{9}C_{7} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

まず、それぞれの果物を1個ずつ買うことを考えます。すると、残りの果物は $7 - 3 = 4$ 個です。この4個の果物を3種類の果物から選ぶ重複組み合わせの総数を求めます。この問題では、$n=3$ (果物の種類数) で、$r=4$ (残りの果物の個数) です。したがって、

$_{3}H_{4} = _{3+4-1}C_{4} = _{6}C_{4}$

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

3. 最終的な答え

(1) 買わない果物があってもよい場合: 36通り

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合: 15通り