袋Aには白玉4個と黒玉5個、袋Bには白玉3個と黒玉2個が入っている。まずAから2個を取り出してBに入れ、次にBから2個を取り出してAに戻す。このとき、Aの中の白玉と黒玉の個数が初めと変わらない確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには白玉4個と黒玉5個、袋Bには白玉3個と黒玉2個が入っている。まずAから2個を取り出してBに入れ、次にBから2個を取り出してAに戻す。このとき、Aの中の白玉と黒玉の個数が初めと変わらない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

袋Aから2個を取り出して袋Bに入れるとき、次の3つの場合が考えられます。

(1) 白玉2個を取り出す

(2) 白玉1個と黒玉1個を取り出す

(3) 黒玉2個を取り出す

それぞれの場合について、袋Bから2個を取り出して袋Aに戻すときに、袋Aの中の白玉と黒玉の個数が変わらないためにはどうすれば良いか考えます。

(1) 袋Aから白玉2個を取り出した場合

袋Bには白玉が3+2=5個、黒玉が2個入っています。袋Aの白玉と黒玉の個数が変わらないためには、袋Bから白玉2個を取り出して袋Aに戻す必要があります。

(2) 袋Aから白玉1個と黒玉1個を取り出した場合

袋Bには白玉が3+1=4個、黒玉が2+1=3個入っています。袋Aの白玉と黒玉の個数が変わらないためには、袋Bから白玉1個と黒玉1個を取り出して袋Aに戻す必要があります。

(3) 袋Aから黒玉2個を取り出した場合

袋Bには白玉が3個、黒玉が2+2=4個入っています。袋Aの白玉と黒玉の個数が変わらないためには、袋Bから黒玉2個を取り出して袋Aに戻す必要があります。

それぞれの確率を計算します。

まず、袋Aから2個を取り出す確率を計算します。

袋Aには全部で9個の玉が入っています。

(1) 袋Aから白玉2個を取り出す確率: $\frac{4C2}{9C2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

このとき、袋Bから白玉2個を取り出す確率: $\frac{5C2}{7C2} = \frac{10}{21}$

したがって、この場合の確率は $\frac{1}{6} \times \frac{10}{21} = \frac{10}{126} = \frac{5}{63}$

(2) 袋Aから白玉1個と黒玉1個を取り出す確率: $\frac{4C1 \times 5C1}{9C2} = \frac{4 \times 5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

このとき、袋Bから白玉1個と黒玉1個を取り出す確率: $\frac{4C1 \times 3C1}{7C2} = \frac{4 \times 3}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

したがって、この場合の確率は $\frac{5}{9} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{63}$

(3) 袋Aから黒玉2個を取り出す確率: $\frac{5C2}{9C2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

このとき、袋Bから黒玉2個を取り出す確率: $\frac{4C2}{7C2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

したがって、この場合の確率は $\frac{5}{18} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{126} = \frac{5}{63}$

求める確率は、これらの確率の和です。

$\frac{5}{63} + \frac{20}{63} + \frac{5}{63} = \frac{30}{63} = \frac{10}{21}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{21}$