白玉3個と赤玉6個が入った袋から玉を1個取り出し、色を確認後、袋に戻す試行を7回行う。4回目に2度目の赤玉が出て、7回目に4度目の白玉が出る確率を求める。

1. 問題の内容

白玉3個と赤玉6個が入った袋から玉を1個取り出し、色を確認後、袋に戻す試行を7回行う。4回目に2度目の赤玉が出て、7回目に4度目の白玉が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、4回目に2度目の赤玉が出る確率を計算する。これは、3回目までに赤玉が1回出て、4回目に赤玉が出る確率である。次に、5回目、6回目に白玉が3回出て、7回目に白玉が出る確率を計算する。最後に、これらの確率を掛け合わせる。

ステップ1: 4回目に2度目の赤玉が出る確率

3回目までに赤玉が1回出る確率は、二項分布から $_3C_1 (\frac{6}{9})^1 (\frac{3}{9})^2 = 3 \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{9}{81} = \frac{162}{729} = \frac{2}{9}$

4回目に赤玉が出る確率は $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

したがって、4回目に2度目の赤玉が出る確率は、

$\frac{2}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27}$

ステップ2: 5回目、6回目に白玉が3回出て、7回目に白玉が出る確率

4回目までに、赤玉が2回、白玉が2回出ている。残りの3回の試行で、白玉がさらに2回出て、7回目に白玉が出ればよい。

残り3回で白玉が2回出る確率は、二項分布から $_3C_2 (\frac{3}{9})^2 (\frac{6}{9})^1 = 3 \cdot \frac{9}{81} \cdot \frac{6}{9} = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

7回目に白玉が出る確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

したがって、5回目、6回目に白玉が3回出て、7回目に白玉が出る確率は、

$\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

ステップ3: 全体の確率

4回目に2度目の赤玉が出て、7回目に4度目の白玉が出る確率は、ステップ1とステップ2の確率を掛け合わせたものとなる。

$\frac{4}{27} \cdot \frac{2}{27} = \frac{8}{729}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{729}$