与えられた不等式 $3||x-2| - 2|x|| \leq 3$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $3||x-2| - 2|x|| \leq 3$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を3で割ります。

$||x-2| - 2|x|| \leq 1$

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

場合1: $|x-2| - 2|x| \geq 0$ のとき

$|x-2| - 2|x| \leq 1$

$|x-2| \leq 2|x| + 1$

場合2: $|x-2| - 2|x| < 0$ のとき

$- (|x-2| - 2|x|) \leq 1$

$-|x-2| + 2|x| \leq 1$

$2|x| \leq |x-2| + 1$

さらに、それぞれの絶対値記号を外すために、$x$の範囲によって場合分けを行います。

(i) $x < 0$ のとき

場合1: $|x-2| - 2|x| \geq 0$

$x-2 < 0$ より $|x-2| = 2-x$, $|x| = -x$ なので、

$2-x - 2(-x) \geq 0$

$2-x + 2x \geq 0$

$x \geq -2$

したがって、 $-2 \leq x < 0$

この範囲で、$|x-2| \leq 2|x| + 1$ は $2-x \leq -2x + 1$ となり、 $x \leq -1$.

したがって、$-2 \leq x \leq -1$

場合2: $|x-2| - 2|x| < 0$

$x-2 < 0$ より $|x-2| = 2-x$, $|x| = -x$ なので、

$2-x - 2(-x) < 0$

$2-x + 2x < 0$

$x < -2$

これは、$x < 0$ の範囲なので、 $x < -2$

この範囲で、$2|x| \leq |x-2| + 1$ は $-2x \leq 2-x + 1$ となり、 $-x \leq 3$ より $x \geq -3$.

したがって、$-3 \leq x < -2$

(ii) $0 \leq x \leq 2$ のとき

場合1: $|x-2| - 2|x| \geq 0$

$x-2 \leq 0$ より $|x-2| = 2-x$, $|x| = x$ なので、

$2-x - 2x \geq 0$

$2-3x \geq 0$

$x \leq \frac{2}{3}$

したがって、 $0 \leq x \leq \frac{2}{3}$

この範囲で、$|x-2| \leq 2|x| + 1$ は $2-x \leq 2x + 1$ となり、 $1 \leq 3x$ より $x \geq \frac{1}{3}$.

したがって、$\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$

場合2: $|x-2| - 2|x| < 0$

$x-2 \leq 0$ より $|x-2| = 2-x$, $|x| = x$ なので、

$2-x - 2x < 0$

$2-3x < 0$

$x > \frac{2}{3}$

したがって、 $\frac{2}{3} < x \leq 2$

この範囲で、$2|x| \leq |x-2| + 1$ は $2x \leq 2-x + 1$ となり、 $3x \leq 3$ より $x \leq 1$.

したがって、$\frac{2}{3} < x \leq 1$

(iii) $x > 2$ のとき

場合1: $|x-2| - 2|x| \geq 0$

$x-2 > 0$ より $|x-2| = x-2$, $|x| = x$ なので、

$x-2 - 2x \geq 0$

$-x - 2 \geq 0$

$x \leq -2$

これは、$x > 2$ の範囲を満たさない。

場合2: $|x-2| - 2|x| < 0$

$x-2 > 0$ より $|x-2| = x-2$, $|x| = x$ なので、

$x-2 - 2x < 0$

$-x - 2 < 0$

$x > -2$

これは、$x > 2$ の範囲を満たす。

この範囲で、$2|x| \leq |x-2| + 1$ は $2x \leq x-2 + 1$ となり、$x \leq -1$.

これは、$x > 2$ の範囲を満たさない。

したがって、(i),(ii),(iii)より、$-3 \leq x \leq -1$ と $\frac{1}{3} \leq x \leq 1$

3. 最終的な答え

$-3 \leq x \leq -1$ または $\frac{1}{3} \leq x \leq 1$