与えられた式 $\sqrt[6]{4\sqrt[3]{32}}$ を簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[6]{4\sqrt[3]{32}}$ を簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{32}$を簡略化します。$32 = 2^5$なので、

$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = 2\sqrt[3]{2^2} = 2\sqrt[3]{4}$となります。

次に、元の式に代入します。

$\sqrt[6]{4\sqrt[3]{32}} = \sqrt[6]{4(2\sqrt[3]{4})} = \sqrt[6]{8\sqrt[3]{4}}$となります。

ここで、$8=2^3$と$\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$を用いて、

$\sqrt[6]{8\sqrt[3]{4}} = \sqrt[6]{2^3 \cdot 2^{2/3}} = \sqrt[6]{2^{3 + 2/3}} = \sqrt[6]{2^{11/3}} = (2^{11/3})^{1/6} = 2^{(11/3) \cdot (1/6)} = 2^{11/18}$となります。

これを別の形式で表現するために、$2^{11/18} = 2^{1/18 + 10/18} = 2^{1/18 + 5/9} = 2^{1/18} \cdot 2^{5/9}$と表すこともできますが、最も単純な形式は $2^{11/18}$です。

また、$2^{11/18} = \sqrt[18]{2^{11}}$とも書けます。

3. 最終的な答え

$2^{11/18}$

または

$\sqrt[18]{2^{11}}$