問題10：8人を指定された人数で部屋に分ける場合の数を求める問題です。 (1) 8人を3人部屋A、3人部屋B、2人部屋Cに分ける場合の数を求めます。 (2) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける場合の数を求めます。 問題11：与えられた図の道において、AからBまでの最短経路の数を求める問題です。 (1) AからBまでの最短経路の数を求めます。 (2) AからCを通ってBまでの最短経路の数を求めます。 (3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数を求めます。

1. 問題の内容

問題10：8人を指定された人数で部屋に分ける場合の数を求める問題です。

(1) 8人を3人部屋A、3人部屋B、2人部屋Cに分ける場合の数を求めます。

(2) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける場合の数を求めます。

問題11：与えられた図の道において、AからBまでの最短経路の数を求める問題です。

(1) AからBまでの最短経路の数を求めます。

(2) AからCを通ってBまでの最短経路の数を求めます。

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数を求めます。

2. 解き方の手順

問題10：

(1) まず、8人から部屋Aに入る3人を選ぶ組み合わせは $_{8}C_{3}$通りです。

次に、残った5人から部屋Bに入る3人を選ぶ組み合わせは $_{5}C_{3}$通りです。

最後に、残った2人は部屋Cに入るので、組み合わせは $_{2}C_{2}=1$通りです。

したがって、分け方の総数は

$_{8}C_{3} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2} = \frac{8!}{3!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times 1 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1 = 56 \times 10 = 560$通りです。

(2) 3人、3人、2人の組に分ける場合、(1)と同様に $_{8}C_{3} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2}$通りですが、3人組が2つあるため、同じ人数の組の並び順を考慮して2!で割る必要があります。

したがって、分け方の総数は

$\frac{_{8}C_{3} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2}}{2!} = \frac{560}{2} = 280$通りです。

問題11：

(1) AからBまでの最短経路は、右に4回、上に3回移動することに対応します。したがって、7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせを考えればよいので、

$_{7}C_{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通りです。

(2) AからCまでの最短経路は、右に1回、上に2回移動することに対応します。したがって、3回の移動のうち、右への移動を1回選ぶ組み合わせを考えればよいので、

$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$通りです。

CからBまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動することに対応します。したがって、4回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせを考えればよいので、

$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$通りです。

したがって、AからCを通ってBまでの最短経路の数は

$3 \times 4 = 12$通りです。

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数は、AからBまでの最短経路の総数から、AからCを通ってBまでの最短経路の数を引けばよいので、

$35 - 12 = 23$通りです。

3. 最終的な答え

問題10：

(1) 560通り

(2) 280通り

問題11：

(1) 35通り

(2) 12通り

(3) 23通り