3種類の果物（柿、りんご、みかん）の中から7個の果物を買う方法について、以下の2つの場合について、何通りあるかを求める問題です。 (1) 買わない果物があっても良い場合 (2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

1. 問題の内容

3種類の果物（柿、りんご、みかん）の中から7個の果物を買う方法について、以下の2つの場合について、何通りあるかを求める問題です。

(1) 買わない果物があっても良い場合

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

2. 解き方の手順

(1) 買わない果物があっても良い場合

これは重複組み合わせの問題です。3種類の果物から重複を許して7個を選ぶ組み合わせの数を求めます。

公式は $_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$ です。この問題では、$n = 3$（果物の種類数）、$r = 7$（買う個数）です。

したがって、

$_{3}H_{7} = _{3+7-1}C_{7} = _{9}C_{7}$

$_{9}C_{7} = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通り

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合

まず、3種類の果物をそれぞれ1個ずつ買います。すると、残り4個の果物を3種類の中から重複を許して選ぶ組み合わせの数を求めることになります。

これは重複組み合わせの問題で、$n = 3$、$r = 4$ となります。

$_{3}H_{4} = _{3+4-1}C_{4} = _{6}C_{4}$

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 買わない果物があってもよい場合：36通り

(2) どの果物も少なくとも1個は買う場合：15通り