放物線 $y = x^2 - 4ax + 2b$ について以下の問いに答えます。 (1) 放物線の頂点の座標を求め、aとbの関係式を求めます。 (2) 放物線が点$(\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$を通り、$AB = 2\sqrt{3}$であるとき、aの値を求めます。 (3) 2点A, Bのx座標がともに$0 < x < 8$を満たす整数a, bの組の数を求め、さらに、A, Bのx座標をそれぞれ$\alpha, \beta$とすると、$\alpha + \beta > 8$を満たすような整数a, bの値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4ax + 2b$ について以下の問いに答えます。

(1) 放物線の頂点の座標を求め、aとbの関係式を求めます。

(2) 放物線が点$(\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$を通り、$AB = 2\sqrt{3}$であるとき、aの値を求めます。

(3) 2点A, Bのx座標がともに$0 < x < 8$を満たす整数a, bの組の数を求め、さらに、A, Bのx座標をそれぞれ$\alpha, \beta$とすると、$\alpha + \beta > 8$を満たすような整数a, bの値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 - 4ax + 2b$ を平方完成します。

$y = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 2b$

よって、頂点の座標は $(2a, -4a^2 + 2b)$ です。

x軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (-4a)^2 - 4(2b) = 16a^2 - 8b > 0$

$2a^2 > b$

(2)

放物線が点$(\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$を通るので、

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2 - 4a(\frac{1}{4}) + 2b$

$\frac{1}{16} = \frac{1}{16} - a + 2b$

$a = 2b$

$b = \frac{a}{2}$

x軸との交点を求めるために、$y = 0$ とします。

$x^2 - 4ax + 2b = 0$

$x^2 - 4ax + a = 0$

解の公式より、

$x = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 4a}}{2} = 2a \pm \sqrt{4a^2 - a}$

$A, B$ の x座標をそれぞれ $2a - \sqrt{4a^2 - a}, 2a + \sqrt{4a^2 - a}$ とすると、

$AB = (2a + \sqrt{4a^2 - a}) - (2a - \sqrt{4a^2 - a}) = 2\sqrt{4a^2 - a}$

$2\sqrt{4a^2 - a} = 2\sqrt{3}$

$4a^2 - a = 3$

$4a^2 - a - 3 = 0$

$(4a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{3}{4}$

$a = 2b$より、$2a^2 > b$ なので、$2a^2 > \frac{a}{2}$ から、$4a^2 - a > 0$ で、$a(4a - 1) > 0$。

したがって、$a < 0$ または $a > \frac{1}{4}$ を満たす必要があるので、$a = 1$

(3)

$x = 2a \pm \sqrt{4a^2 - a}$

$0 < 2a \pm \sqrt{4a^2 - a} < 8$

$0 < x < 8$ より、2点 $A, B$ のx座標をそれぞれ $\alpha, \beta$とすると、

$\alpha + \beta = 4a$

よって、$0 < 4a < 16$ より $0 < a < 4$

また、$2a^2 > b$ を満たす必要があります。

a, b は整数なので、$a = 1, 2, 3$

a = 1 のとき、$2 > b$ より $b = 1$

a = 2 のとき、$8 > b$ より $b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

a = 3 のとき、$18 > b$ より $b = 1, 2, 3, ..., 17$

ただし、$4a^2 - a \ge 0$ を満たす必要があり、これは $a = 1, 2, 3$ で成り立つ。

a=1, b=1 のとき $x = 2 \pm \sqrt{3}$ で、$0 < 2 \pm \sqrt{3} < 8$ は成り立つ。

a=2のとき $x = 4 \pm \sqrt{14}$で $0 < 4 \pm \sqrt{14} < 8$ は成り立つ。

a=3のとき $x = 6 \pm \sqrt{33}$で $0 < 6 \pm \sqrt{33} < 8$ は成り立つ。

条件 $\alpha + \beta > 8$ つまり $4a > 8$ より $a > 2$ を満たす必要があるため、$a = 3$ となります。

このとき、bは $1 \le b \le 17$ で $b < 18$を満たす必要があります。よって整数a,bの組は、(3,1)～(3,17)の17組です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(2a, -4a^2 + 2b)$、関係式：$2a^2 > b$

(2) $a = 1$

(3) (a, b)の組の数: 17組

a, b の値：a=3, b=1, 2, ..., 17