点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。点Aからの距離をAP、点Bからの距離をBPとすると、問題の条件は

$AP:BP = 1:3$

と表せます。つまり、

$3AP = BP$

です。

距離の公式から、

$AP = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

$BP = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

です。

$3AP = BP$を代入すると、

$3\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$9((x+1)^2 + y^2) = (x-3)^2 + y^2$

展開して整理します。

$9(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$9x^2 + 18x + 9 + 9y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$8x^2 + 24x + 8y^2 = 0$

両辺を8で割って、

$x^2 + 3x + y^2 = 0$

平方完成します。

$(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + y^2 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$

これは、中心$(-\frac{3}{2}, 0)$、半径$\frac{3}{2}$の円の方程式です。

3. 最終的な答え

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$

つまり、中心が$(-\frac{3}{2}, 0)$、半径が$\frac{3}{2}$の円。