実数係数の2次式 $f(x) = ax^2 + bx$ において、$f(1)$ と $f(2)$ が整数であるとき、全ての整数 $n$ に対して $f(n)$ が整数であることを示す。

1. 問題の内容

実数係数の2次式 $f(x) = ax^2 + bx$ において、$f(1)$ と $f(2)$ が整数であるとき、全ての整数 $n$ に対して $f(n)$ が整数であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$f(1)$ と $f(2)$ の値を書き出す。

$f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b$

$f(2) = a(2)^2 + b(2) = 4a + 2b$

$f(1)$ と $f(2)$ が整数であることから、$a+b$ と $4a+2b$ は整数である。

$f(2) - 2f(1) = (4a + 2b) - 2(a + b) = 4a + 2b - 2a - 2b = 2a$

$2a$ は整数となる。よって、$a = \frac{k}{2}$ （$k$は整数）と表せる。

$b = f(1) - a = f(1) - \frac{k}{2}$ であり、$f(1)$は整数なので、$b$ は $\frac{l}{2}$ （$l$は整数）と表せる。

したがって、$a$ と $b$ は、整数、または分母が2の整数/2の形の実数である。

次に、$f(n) = an^2 + bn$ を考える。

$f(n) = \frac{k}{2}n^2 + \frac{l}{2}n = \frac{kn^2 + ln}{2} = \frac{n(kn+l)}{2}$

$n$が偶数のとき、$n = 2m$（$m$は整数）と表せる。

$f(n) = \frac{2m(2km+l)}{2} = m(2km+l)$

$m(2km+l)$ は整数である。

$n$が奇数のとき、$n = 2m+1$（$m$は整数）と表せる。

$f(n) = \frac{(2m+1)(k(2m+1)+l)}{2} = \frac{(2m+1)(2km+k+l)}{2}$

$k+l$が偶数ならば、$k+l = 2p$（$p$は整数）と表せる。

$f(n) = \frac{(2m+1)(2km+2p)}{2} = (2m+1)(km+p)$

$(2m+1)(km+p)$ は整数である。

$k+l$が奇数ならば、$k+l = 2p+1$（$p$は整数）と表せる。

このとき、$a+b = \frac{k+l}{2} = \frac{2p+1}{2}$となり、$a+b$が整数であるという仮定に矛盾する。

したがって、$k+l$は偶数でなければならない。

以上より、全ての整数 $n$ に対して $f(n)$ は整数である。

3. 最終的な答え

全ての整数 $n$ に対して $f(n)$ は整数である。