関数 $y = x^2 - 4x$ ($0 < x \le 5$) の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x$ ($0 < x \le 5$) の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

この関数は下に凸な放物線であり、頂点の座標は $(2, -4)$ です。

次に、定義域 $0 < x \le 5$ における関数の値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $2$ であり、定義域に含まれます。

$x = 2$ のとき、$y = (2-2)^2 - 4 = -4$

$x = 5$ のとき、$y = (5-2)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

$x$ が $0$ に近づくとき、$y$ は $0$ に近づきます。しかし、$x>0$ であるため、$y$ は $0$ になることはありません。したがって、$x=0$での値は考慮しません。

$0<x\leq5$におけるグラフの概形を考えると、頂点である$x=2$のときに最小値を取り、$x=5$のときに最大値を取ることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値：$5$ ($x = 5$のとき)

最小値：$-4$ ($x = 2$のとき)