次の4つの二次方程式を解きます。 (1) $x^2 + 3x + 4 = 0$ (2) $3x^2 - 4x + 2 = 0$ (3) $x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 0$ (4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$

1. 問題の内容

次の4つの二次方程式を解きます。

(1) $x^2 + 3x + 4 = 0$

(2) $3x^2 - 4x + 2 = 0$

(3) $x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 0$

(4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

を用いて求められます。

(1) $x^2 + 3x + 4 = 0$ の場合、a=1, b=3, c=4なので、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) $3x^2 - 4x + 2 = 0$ の場合、a=3, b=-4, c=2なので、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{2 \pm i\sqrt{2}}{3}$

(3) $x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 0$ の場合、a=1, b=$\sqrt{2}$, c=1なので、

$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{-2}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2}$

(4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ の場合、a=1, b=$-2\sqrt{3}$, c=4なので、

$x = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 16}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2i}{2} = \sqrt{3} \pm i$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) $x = \frac{2 \pm i\sqrt{2}}{3}$

(3) $x = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2}$

(4) $x = \sqrt{3} \pm i$