(3) $A \geq 0$, $B \geq 0$, $A^2 \geq B^2$ ならば $A \geq B$ となることを証明する。 (4) 実数 $x, y$ に対して、不等式 $|x + y| \leq |x| + |y|$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

(3) $A \geq 0$, $B \geq 0$, $A^2 \geq B^2$ ならば $A \geq B$ となることを証明する。

(4) 実数 $x, y$ に対して、不等式 $|x + y| \leq |x| + |y|$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

(3) $A \geq 0$ かつ $B \geq 0$ であるから、$A+B \geq 0$ が成り立つ。

$A^2 \geq B^2$ より、 $A^2 - B^2 \geq 0$ となる。

ここで、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ であるから、

$(A+B)(A-B) \geq 0$ となる。

$A+B \geq 0$ より、 $A-B \geq 0$ である必要がある。

したがって、$A \geq B$ が成り立つ。

(4) 不等式 $|x+y| \leq |x| + |y|$ を証明する。ヒントにある通り、両辺の2乗の差を考える。

$(|x| + |y|)^2 - |x+y|^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 - (x+y)^2 = x^2 + 2|x||y| + y^2 - (x^2 + 2xy + y^2) = 2(|x||y| - xy)$

ここで、$|x||y| \geq xy$ が常に成り立つ。

なぜなら、$|x||y| - xy \geq 0$ は、$x$ と $y$ の符号が同じ場合 $xy - xy = 0$ となり、符号が異なる場合 $-xy - xy = -2xy \geq 0$ となるため。（$xy$ は負なので $-xy$ は正）

したがって、$|x||y| - xy \geq 0$ が成り立つので、

$(|x| + |y|)^2 - |x+y|^2 = 2(|x||y| - xy) \geq 0$ となる。

$(|x| + |y|)^2 \geq |x+y|^2$ が成り立つ。

$|x| + |y| \geq 0$ かつ $|x+y| \geq 0$ であるから、両辺の平方根を取って $|x| + |y| \geq |x+y|$ が成り立つ。

したがって、$|x+y| \leq |x| + |y|$ が証明された。

等号が成り立つのは、$|x||y| = xy$ のときである。

これは、$xy \geq 0$ のときに成り立つ。

つまり、$x$ と $y$ の符号が同じ（両方とも正か両方とも負）か、少なくともどちらか一方が0のときに等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

(3) $A \geq B$

(4) $|x+y| \leq |x| + |y|$ であり、等号が成り立つのは $xy \geq 0$ のとき。