問題10.1：$\pi < \theta < 2\pi$のとき、$\sin{\theta} = -\frac{3}{5}$を満たす$\cos{\theta}$と$\tan{\theta}$の値を求めよ。 問題10.2：関数$y = \tan{(\theta - \frac{\pi}{4})}$のグラフを描け。

1. 問題の内容

問題10.1：$\pi < \theta < 2\pi$のとき、$\sin{\theta} = -\frac{3}{5}$を満たす$\cos{\theta}$と$\tan{\theta}$の値を求めよ。

問題10.2：関数$y = \tan{(\theta - \frac{\pi}{4})}$のグラフを描け。

2. 解き方の手順

問題10.1：

ステップ1: 三角関数の基本公式$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$を利用して、$\cos{\theta}$の値を求める。

$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

したがって、$\cos{\theta} = \pm \frac{4}{5}$

ステップ2: $\pi < \theta < 2\pi$の範囲で$\cos{\theta}$の符号を決定する。$\pi < \theta < 2\pi$なので、$\theta$は第3象限または第4象限の角である。この範囲では、$\cos{\theta}$は負または正の値をとる。$\sin{\theta}$が負であることから、$\theta$は第3象限または第4象限の角である。第3象限では$\cos{\theta}$は負、第4象限では$\cos{\theta}$は正である。

$\sin \theta = -\frac{3}{5} < 0$ より、$\theta$は第3または第4象限にある。

$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ならば第3象限であり$\cos \theta < 0$。

$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ならば第4象限であり$\cos \theta > 0$。

$\cos^2 \theta = \frac{16}{25}$は$\cos \theta = \frac{4}{5}$または$\cos \theta = -\frac{4}{5}$を意味する。

しかしながら、$sin \theta = -\frac{3}{5}$より$\theta$は第3または第4象限なので、$\cos \theta$は正または負を取りうる。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$より

$\cos \theta = \pm \sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、第3象限では$\tan \theta > 0$、第4象限では$\tan \theta < 0$。

$\tan \theta = \frac{-3/5}{\pm 4/5} = \mp \frac{3}{4}$

しかし、$sin \theta = -\frac{3}{5}$かつ$\pi < \theta < 2\pi$より$\cos \theta = \frac{4}{5}$となり、$\tan \theta = -\frac{3}{4}$

$\cos{\theta} = \frac{4}{5}$

ステップ3: $\tan{\theta}$の値を求める。

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

問題10.2：

$y = \tan{\theta}$のグラフを描き、それを$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動する。

$\tan{\theta}$の周期は$\pi$である。$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$は整数)のとき、$\tan{\theta}$は定義されない。

$y = \tan{(\theta - \frac{\pi}{4})}$では、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi$すなわち$\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$で定義されない。

3. 最終的な答え

問題10.1：

$\cos{\theta} = \frac{4}{5}$

$\tan{\theta} = -\frac{3}{4}$

問題10.2：

$y = \tan{(\theta - \frac{\pi}{4})}$のグラフは、$y = \tan{\theta}$のグラフを$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動したものである。

漸近線は$\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ ($n$は整数)である。