複素数の問題です。 (1) $ -a - 3i = 2 + (b-2)i $を満たす実数$a$, $b$の値を求めます。 (2) $ (2a-1) + (3b+2)i = 3 - i $を満たす実数$a$, $b$の値を求めます。 (3) $(5 - 3i) + (-1 + 2i)$を計算します。 (4) $(2 - i) - (6 - 5i)$を計算します。 (5) $(2 + i)(4 - 3i)$を計算します。 (6) $(1 + i)^2$を計算します。 (7) $\frac{1 + 3i}{1 - 3i}$を計算します。

1. 問題の内容

複素数の問題です。

(1) $-a - 3i = 2 + (b-2)i$を満たす実数$a$, $b$の値を求めます。

(2) $(2a-1) + (3b+2)i = 3 - i$を満たす実数$a$, $b$の値を求めます。

(3) $(5 - 3i) + (-1 + 2i)$を計算します。

(4) $(2 - i) - (6 - 5i)$を計算します。

(5) $(2 + i)(4 - 3i)$を計算します。

(6) $(1 + i)^2$を計算します。

(7) $\frac{1 + 3i}{1 - 3i}$を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 実部と虚部を比較します。

$-a = 2$より、$a = -2$

$-3 = b - 2$より、$b = -3 + 2 = -1$

(2) 実部と虚部を比較します。

$2a - 1 = 3$より、$2a = 4$、$a = 2$

$3b + 2 = -1$より、$3b = -3$、$b = -1$

(3) 実部と虚部をそれぞれ計算します。

$(5 - 3i) + (-1 + 2i) = (5 - 1) + (-3 + 2)i = 4 - i$

(4) 実部と虚部をそれぞれ計算します。

$(2 - i) - (6 - 5i) = (2 - 6) + (-1 - (-5))i = -4 + 4i$

(5) 展開して計算します。

$(2 + i)(4 - 3i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-3i) + i \cdot 4 + i \cdot (-3i) = 8 - 6i + 4i - 3i^2 = 8 - 2i - 3(-1) = 8 - 2i + 3 = 11 - 2i$

(6) 展開して計算します。

$(1 + i)^2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + i + i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

(7) 分母の共役複素数をかけて分母を実数化します。

$\frac{1 + 3i}{1 - 3i} = \frac{(1 + 3i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{1 + 3i + 3i + 9i^2}{1 - 9i^2} = \frac{1 + 6i - 9}{1 + 9} = \frac{-8 + 6i}{10} = \frac{-4 + 3i}{5} = -\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$, $b = -1$

(2) $a = 2$, $b = -1$

(3) $4 - i$

(4) $-4 + 4i$

(5) $11 - 2i$

(6) $2i$

(7) $-\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$