問題は、総和 $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、総和 $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この総和は等比数列の和です。等比数列の和の公式は、初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、次のようになります。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

今回の問題では、総和の式は $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ です。

$k = 1$ のとき、初項 $a = 5^{1-1} = 5^0 = 1$ です。

公比は $r = 5$ です。

項数は $n$ です。

したがって、等比数列の和の公式に代入すると、

$S_n = \frac{1(1-5^n)}{1-5} = \frac{1-5^n}{-4} = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{4}$