(3) 絶対値を含む不等式 $|2x-3| \ge 2$ を解く問題。 (4) 不等式 $x+3 < 5|x-1|$ を解く問題。

1. 問題の内容

(3) 絶対値を含む不等式 $|2x-3| \ge 2$ を解く問題。

(4) 不等式 $x+3 < 5|x-1|$ を解く問題。

2. 解き方の手順

(3)

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $2x-3 \ge 0$ つまり $x \ge \frac{3}{2}$ のとき、

$|2x-3| = 2x-3$ となるので、不等式は $2x-3 \ge 2$ となります。

これを解くと、

$2x \ge 5$

$x \ge \frac{5}{2}$

$x \ge \frac{3}{2}$ と $x \ge \frac{5}{2}$ の共通範囲は $x \ge \frac{5}{2}$ です。

(ii) $2x-3 < 0$ つまり $x < \frac{3}{2}$ のとき、

$|2x-3| = -(2x-3) = -2x+3$ となるので、不等式は $-2x+3 \ge 2$ となります。

これを解くと、

$-2x \ge -1$

$2x \le 1$

$x \le \frac{1}{2}$

$x < \frac{3}{2}$ と $x \le \frac{1}{2}$ の共通範囲は $x \le \frac{1}{2}$ です。

(i), (ii) より、解は $x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge \frac{5}{2}$ です。

(4)

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x-1 \ge 0$ つまり $x \ge 1$ のとき、

$|x-1| = x-1$ となるので、不等式は $x+3 < 5(x-1)$ となります。

これを解くと、

$x+3 < 5x-5$

$8 < 4x$

$2 < x$

$x > 2$

$x \ge 1$ と $x > 2$ の共通範囲は $x > 2$ です。

(ii) $x-1 < 0$ つまり $x < 1$ のとき、

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$ となるので、不等式は $x+3 < 5(-x+1)$ となります。

これを解くと、

$x+3 < -5x+5$

$6x < 2$

$x < \frac{1}{3}$

$x < 1$ と $x < \frac{1}{3}$ の共通範囲は $x < \frac{1}{3}$ です。

(i), (ii) より、解は $x < \frac{1}{3}$ または $x > 2$ です。

3. 最終的な答え

(3) $x \le \frac{1}{2}$ または $x \ge \frac{5}{2}$

(4) $x < \frac{1}{3}$ または $x > 2$