## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

任意の実数 $x$ に対して、$x^2 - 3x + 2 > 0$ または $x^2 + ax + 1 > 0$ の少なくとも一方が成り立つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

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2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 3x + 2 > 0$ を満たさない $x$ の範囲を求めます。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ なので、$x^2 - 3x + 2 > 0$ は $x < 1$ または $x > 2$ と同値です。したがって、$x^2 - 3x + 2 \le 0$ を満たす $x$ の範囲は $1 \le x \le 2$ です。

問題文の条件は、任意の実数 $x$ に対して、$x^2 - 3x + 2 > 0$ または $x^2 + ax + 1 > 0$ が成り立つことです。これは、任意の $x$ に対して少なくともどちらか一方が成り立つということであり、言い換えると、$x^2 - 3x + 2 \le 0$ を満たす $x$ に対して、$x^2 + ax + 1 > 0$ が成立すればよいことになります。

$1 \le x \le 2$ を満たす $x$ に対して $x^2 + ax + 1 > 0$ が常に成り立つ条件を考えます。

$f(x) = x^2 + ax + 1$ とおくと、$1 \le x \le 2$ で $f(x) > 0$ となる条件を求めればよいです。

$f(x)$ の判別式を $D$ とすると、$D = a^2 - 4$ です。

* $a^2 - 4 < 0$ のとき、すなわち $-2 < a < 2$ のとき、$f(x) > 0$ は常に成り立ちます。

なぜならば、判別式が負なので、$f(x)=0$ となる実数解を持たず、$x^2$ の係数が正であるため $f(x)$ は常に正の値を取るからです。

* $a^2 - 4 \ge 0$ のとき、すなわち $a \le -2$ または $a \ge 2$ のとき、

$f(1) = 1 + a + 1 = a + 2 > 0$ かつ $f(2) = 4 + 2a + 1 = 2a + 5 > 0$ が成立すれば、$1 \le x \le 2$ で $f(x) > 0$ となります。

$a + 2 > 0$ より $a > -2$。

$2a + 5 > 0$ より $a > -\frac{5}{2}$。

したがって、$a > -2$ が必要になります。

$a \ge 2$ と $a > -2$ の共通部分は $a \ge 2$。

まとめると、$-2 < a < 2$ または $a \ge 2$ であれば条件を満たすので、最終的に $a > -2$ が求める範囲となります。

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3. 最終的な答え

$a > -2$