与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 6x + 6$ について、頂点の座標、軸の方程式、最大値または最小値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 6x + 6$ について、頂点の座標、軸の方程式、最大値または最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成の形に変形します。

$y = 2x^2 + 6x + 6$

$y = 2(x^2 + 3x) + 6$

$y = 2\left(x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 6$

$y = 2\left(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) + 6$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{9}{4}\right) + 6$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + \frac{12}{2}$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$

平方完成された式から、頂点の座標は $\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ であることがわかります。

軸の方程式は、頂点のx座標と同じなので、$x = -\frac{3}{2}$ です。

また、2次関数の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線となり、最小値を持ちます。最小値は頂点のy座標である $\frac{3}{2}$ で、これは $x = -\frac{3}{2}$ のときに取ります。最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

* 頂点の座標: $\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$

* 軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

* 最大値: なし

* 最小値: $\frac{3}{2}$ ($x = -\frac{3}{2}$ のとき)