$y = -x^2 + (4m - 3)x + 8m - 3$ のグラフが、$x$軸の負の部分で異なる2点で交わるための $m$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = -x^2 + (4m - 3)x + 8m - 3$ のグラフが、$x$軸の負の部分で異なる2点で交わるための $m$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

グラフが$x$軸の負の部分で異なる2点で交わるための条件は、以下の3つです。

(1) グラフは上に凸である（これはすでに満たされています）。

(2) $x$軸との交点を持つこと（判別式$D > 0$）。

(3) 2つの交点がともに負であること。これは、軸が負で、$y$切片が負であることから確認できます。

(2)について、判別式$D$は

$D = (4m - 3)^2 - 4(-1)(8m - 3)$

$= 16m^2 - 24m + 9 + 32m - 12$

$= 16m^2 + 8m - 3 > 0$

$(4m + 3)(4m - 1) > 0$

よって、$m < -\frac{3}{4}, \frac{1}{4} < m$

(3)について、軸は $x = \frac{4m - 3}{2}$ で、$y$切片は $8m - 3$ です。

軸が負である条件は

$\frac{4m - 3}{2} < 0$

$4m - 3 < 0$

$m < \frac{3}{4}$

$y$切片が負である条件は

$8m - 3 < 0$

$8m < 3$

$m < \frac{3}{8}$

以上の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -\frac{3}{4}, \frac{1}{4} < m$ と $m < \frac{3}{4}$ と $m < \frac{3}{8}$ を同時に満たす範囲を考えると、

$m < -\frac{3}{4}, \frac{1}{4} < m < \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$m < -\frac{3}{4}, \frac{1}{4} < m < \frac{3}{8}$