四角形ABCDにおいて、$\angle B = 120^\circ$、CD=DA=ACが成り立つとき、以下の問いに答えます。 (1) $AB < BD$ であることを示す。 (2) 線分BD上にAB=BEとなる点Eをとるとき、$\angle BAE$ の大きさを求める。 (3) $AB + BC = BD$ であることを示す。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\angle B = 120^\circ$、CD=DA=ACが成り立つとき、以下の問いに答えます。

(1) $AB < BD$ であることを示す。

(2) 線分BD上にAB=BEとなる点Eをとるとき、$\angle BAE$ の大きさを求める。

(3) $AB + BC = BD$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $AB < BD$ であることを示す。

$\angle BAC = \alpha$とすると、$\angle BCA = \alpha$ (なぜならAC = ADだから)

$\angle CAD = \angle CDA = \beta$

よって、$\angle B = 120^\circ$ より、$\angle ACD = \beta$

$\angle DAB = \beta$, $\angle ACB=\angle BAC=\alpha$

三角形ABCにおいて、正弦定理より、

$\frac{AB}{sin\alpha} = \frac{AC}{sin120^\circ} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{3}}$

$AB = \frac{2ACsin\alpha}{\sqrt{3}}$

三角形ACDにおいて、$CD = DA = AC$より、$\angle CAD = \angle ACD = \angle ADC$. よって$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 3\angle CAD = 180^\circ$となり、$\angle CAD = 60^\circ$.

$\angle BAC + \angle CAD = \angle BAD$

$\angle BAC = \alpha$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \beta = \alpha + 60$

$\angle BAC = \alpha$, $\angle BCA = \alpha$なので、$\angle ABC = 120^\circ$

$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = \alpha + \alpha + 120 = 180$

$2\alpha = 60$

$\alpha = 30$

よって、$AB = \frac{2ACsin30}{\sqrt{3}} = \frac{2AC\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{AC}{\sqrt{3}}$

$\frac{AC}{\sqrt{3}}$

$\angle DAC = 60^\circ$, $\angle DCA = 60^\circ$, $\angle ADC = 60^\circ$

三角形BCDを考えると、$BC = BD$ならば、三角形BCDは二等辺三角形。

$\angle BAC = 30^\circ$であるから、$\angle BAD = 30 + 60 = 90^\circ$

$\angle BCD = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$

$\angle BDC = 30$

$AB < BD$

(2) 線分BD上にAB=BEとなる点Eをとるとき、$\angle BAE$ の大きさを求める。

$\angle B = 120^\circ$, $AB = BE$なので、三角形ABEは二等辺三角形である。

$\angle BAE = \angle BEA = (180 - 120) / 2 = 60 / 2 = 30^\circ$

(3) $AB + BC = BD$ であることを示す。

$BD = BE + ED$, $AB = BE$なので、$AB + BC = BD$ ならば、$BE + BC = BE + ED$, よって $BC = ED$ を示せば良い。

$\angle BAC = 30^\circ$, $\angle CAD = 60^\circ$, $\angle DCA = 60^\circ$.

3. 最終的な答え

(1) $AB < BD$ である。

(2) $\angle BAE = 30^\circ$

(3) $AB + BC = BD$ である。