三角形ABCにおいて、角Aが60度、角Bが45度、辺ACの長さが$\sqrt{6}$であるとき、辺BCの長さ$a$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aが60度、角Bが45度、辺ACの長さが$\sqrt{6}$であるとき、辺BCの長さ$a$を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて解きます。正弦定理は、三角形の各辺の長さとその対角の正弦の比が等しいという定理です。

具体的には、三角形ABCにおいて、以下の関係が成り立ちます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

ここで、$a, b, c$はそれぞれ辺BC, AC, ABの長さを表し、$A, B, C$はそれぞれの対角の大きさを表します。

今回は、$a$ (BC) を求めたいので、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

という関係式を利用します。

問題より、$A = 60^{\circ}$、$B = 45^{\circ}$、$b = \sqrt{6}$です。

したがって、

$\frac{a}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ}}$

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、

$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

$a = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

$a = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{6}{2}}$

$a = \sqrt{3} \times \sqrt{3}$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$