次の式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ (2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ の分母を有理化する。

まず、分母を $(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}$ とみて、分子と分母に $(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}$ をかけます。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}} = \frac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}} \times \frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{1+2\sqrt{5}+5-6} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

次に、分子と分母に $\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

まず、分母と分子を $(1+\sqrt{3})+\sqrt{2}$ と $(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}$ とみて、分子と分母に $(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{3})+\sqrt{2}} \times \frac{(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}} = \frac{((1+\sqrt{3})-\sqrt{2})^2}{(1+\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{(1+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}(1+\sqrt{3}) + 2}{1+2\sqrt{3}+3-2} = \frac{1+2\sqrt{3}+3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2}{2+2\sqrt{3}} = \frac{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{2+2\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{1+\sqrt{3}}$

次に、分子と分母に $1-\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{1+\sqrt{3}} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}-3\sqrt{3}-3+\sqrt{6}+\sqrt{18}}{1-3} = \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{-2} = \frac{-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$

(2) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$