次の和を求めます。 $3\cdot2 + 6\cdot3 + 9\cdot4 + \dots + 3n(n+1)$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$3\cdot2 + 6\cdot3 + 9\cdot4 + \dots + 3n(n+1)$

2. 解き方の手順

この和を$\sum$を使って表します。

数列の一般項は$3k(k+1)$なので、求める和は

$\sum_{k=1}^n 3k(k+1)$

となります。

この$\sum$を計算します。

まず、3を$\sum$の外に出します。

$3\sum_{k=1}^n k(k+1)$

次に、$k(k+1)$を展開します。

$3\sum_{k=1}^n (k^2+k)$

$\sum$を分解します。

$3\left(\sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k\right)$

$\sum_{k=1}^n k^2$と$\sum_{k=1}^n k$の公式を適用します。

$3\left(\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1)\right)$

$n(n+1)$でくくります。

$3n(n+1)\left(\frac{1}{6}(2n+1) + \frac{1}{2}\right)$

括弧の中を計算します。

$3n(n+1)\left(\frac{2n+1+3}{6}\right)$

$3n(n+1)\left(\frac{2n+4}{6}\right)$

$3n(n+1)\left(\frac{2(n+2)}{6}\right)$

約分します。

$n(n+1)\left(\frac{n+2}{1}\right)$

したがって、

$n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$n(n+1)(n+2)$