与えられた式の分母を有理化せよ。与えられた式は $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ である。

以下に問題65の(2)の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化せよ。与えられた式は

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

である。

2. 解き方の手順

まず、分母と分子に $1+\sqrt{3} - \sqrt{2}$ を掛ける。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{3})+\sqrt{2}}$

$\frac{(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 = 2 + 2\sqrt{3}$

$(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = (1+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}(1+\sqrt{3}) + (\sqrt{2})^2 = 1+2\sqrt{3}+3 -2\sqrt{2} -2\sqrt{6} + 2 = 6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}$

$\frac{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{2+2\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{1+\sqrt{3}}$

分母と分子に$1-\sqrt{3}$を掛ける

$\frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}-3\sqrt{3}-3+\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}}{1-3}$

$= \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}-3\sqrt{3}-3+\sqrt{6}+\sqrt{6}}{-2} = \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{-2} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$