与えられた式を展開する問題です。具体的には、$(x+3)^4$, $(x+1)^5$, $(x-1)^4$, $(x-3)^5$ をそれぞれ展開します。二項定理を利用して展開を行います。

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。具体的には、$(x+3)^4$, $(x+1)^5$, $(x-1)^4$, $(x-3)^5$ をそれぞれ展開します。二項定理を利用して展開を行います。

2. 解き方の手順

(1) $(x+3)^4$ の展開

二項定理より、

$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^{4-k} 3^k$

$\binom{4}{0} = 1$, $\binom{4}{1} = 4$, $\binom{4}{2} = 6$, $\binom{4}{3} = 4$, $\binom{4}{4} = 1$ なので、

$(x+3)^4 = x^4 + 4x^3(3) + 6x^2(3^2) + 4x(3^3) + 3^4$

$= x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$

(2) $(x+1)^5$ の展開

二項定理より、

$(x+1)^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} x^{5-k} 1^k$

$\binom{5}{0} = 1$, $\binom{5}{1} = 5$, $\binom{5}{2} = 10$, $\binom{5}{3} = 10$, $\binom{5}{4} = 5$, $\binom{5}{5} = 1$ なので、

$(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$

(3) $(x-1)^4$ の展開

二項定理より、

$(x-1)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^{4-k} (-1)^k$

$\binom{4}{0} = 1$, $\binom{4}{1} = 4$, $\binom{4}{2} = 6$, $\binom{4}{3} = 4$, $\binom{4}{4} = 1$ なので、

$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

(4) $(x-3)^5$ の展開

二項定理より、

$(x-3)^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} x^{5-k} (-3)^k$

$\binom{5}{0} = 1$, $\binom{5}{1} = 5$, $\binom{5}{2} = 10$, $\binom{5}{3} = 10$, $\binom{5}{4} = 5$, $\binom{5}{5} = 1$ なので、

$(x-3)^5 = x^5 + 5x^4(-3) + 10x^3(-3)^2 + 10x^2(-3)^3 + 5x(-3)^4 + (-3)^5$

$= x^5 - 15x^4 + 90x^3 - 270x^2 + 405x - 243$

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$

(2) $(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$

(3) $(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

(4) $(x-3)^5 = x^5 - 15x^4 + 90x^3 - 270x^2 + 405x - 243$