問題4.1: 3次対称群 $S_3$ のすべての置換を偶置換と奇置換に分けて書き出す。 問題4.2: 与えられた置換 $p$ と $q$ に対して、積 $pq$ と $qp$ を求める。ただし、置換 $p$ と $q$ が画像から読み取れないため、この問題を解くことはできません。問題4.1を解きます。

1. 問題の内容

問題4.1: 3次対称群 $S_3$ のすべての置換を偶置換と奇置換に分けて書き出す。

問題4.2: 与えられた置換 $p$ と $q$ に対して、積 $pq$ と $qp$ を求める。ただし、置換 $p$ と $q$ が画像から読み取れないため、この問題を解くことはできません。問題4.1を解きます。

2. 解き方の手順

$S_3$ の要素は6個あります。置換は次のように表されます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \end{pmatrix}$

ここで、$a, b, c$ は 1, 2, 3 の順列です。

全ての置換を列挙します。

* 恒等置換: $e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

* (1 2): $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

* (1 3): $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

* (2 3): $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

* (1 2 3): $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

* (1 3 2): $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

偶置換は、互換の偶数個の積で表される置換です。奇置換は、互換の奇数個の積で表される置換です。

* 恒等置換 $e$ は互換の0個の積なので、偶置換です。

* (1 2) は互換1個の積なので、奇置換です。

* (1 3) は互換1個の積なので、奇置換です。

* (2 3) は互換1個の積なので、奇置換です。

* (1 2 3) = (1 2)(2 3) と表せるので、偶置換です。

* (1 3 2) = (1 3)(3 2) と表せるので、偶置換です。

3. 最終的な答え

偶置換: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

奇置換: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$