与えられた数列 $\{a_n\}$: 1, 6, 17, 34, 57, ... の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 1, 6, 17, 34, 57, ... の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を求め、さらにその階差数列が等差数列になるかなどを調べて、一般項を求めます。

まず、階差数列 $\{b_n\}$ を計算します。

$b_1 = 6 - 1 = 5$

$b_2 = 17 - 6 = 11$

$b_3 = 34 - 17 = 17$

$b_4 = 57 - 34 = 23$

階差数列 $\{b_n\}$: 5, 11, 17, 23, ... となります。

さらに、階差数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ を計算します。

$c_1 = 11 - 5 = 6$

$c_2 = 17 - 11 = 6$

$c_3 = 23 - 17 = 6$

階差数列 $\{c_n\}$ は 6, 6, 6, ... となり、これは公差 0 の等差数列です。したがって、数列 $\{a_n\}$ は階差数列が等差数列となる数列（階差数列の階差数列が定数となる数列）です。

数列 $\{b_n\}$ は初項 5、公差 6 の等差数列なので、

$b_n = 5 + (n-1)6 = 5 + 6n - 6 = 6n - 1$

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は次のようになります。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (6k - 1)$

$= 1 + 6 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 6 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$= 1 + 3n(n-1) - (n-1)$

$= 1 + 3n^2 - 3n - n + 1$

$= 3n^2 - 4n + 2$

$a_1 = 3(1)^2 - 4(1) + 2 = 3 - 4 + 2 = 1$

$a_2 = 3(2)^2 - 4(2) + 2 = 12 - 8 + 2 = 6$

$a_3 = 3(3)^2 - 4(3) + 2 = 27 - 12 + 2 = 17$

$a_4 = 3(4)^2 - 4(4) + 2 = 48 - 16 + 2 = 34$

$a_5 = 3(5)^2 - 4(5) + 2 = 75 - 20 + 2 = 57$

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 4n + 2$