$a < b < c$ を満たす3つの実数 $a, b, c$ に対して、 $x$ に関する方程式 $2(x-b)(x-c)-(x-a)^2=0$ の2解を $\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$ とするとき、$a, b, c$ を $\alpha, \beta$ を用いて大小順に並べる問題です。

1. 問題の内容

$a < b < c$ を満たす3つの実数 $a, b, c$ に対して、 $x$ に関する方程式 $2(x-b)(x-c)-(x-a)^2=0$ の2解を $\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$ とするとき、$a, b, c$ を $\alpha, \beta$ を用いて大小順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を展開して整理します。

$2(x-b)(x-c) - (x-a)^2 = 0$

$2(x^2 - (b+c)x + bc) - (x^2 - 2ax + a^2) = 0$

$2x^2 - 2(b+c)x + 2bc - x^2 + 2ax - a^2 = 0$

$x^2 - 2(b+c-a)x + 2bc - a^2 = 0$

この2次方程式の解は $\alpha, \beta$ なので、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2(b+c-a)$

$\alpha \beta = 2bc - a^2$

$x = b$ のとき、

$2(b-b)(b-c) - (b-a)^2 = -(b-a)^2 < 0$

$x = c$ のとき、

$2(c-b)(c-c) - (c-a)^2 = -(c-a)^2 < 0$

$x = a$ のとき、

$2(a-b)(a-c) - (a-a)^2 = 2(a-b)(a-c)$

$a < b < c$ より、$a-b < 0$, $a-c < 0$ であるから、$(a-b)(a-c) > 0$

したがって、$2(a-b)(a-c) > 0$

よって、$x = a$ のとき正、$x = b, x = c$ のとき負であるから、$a$ は2つの解 $\alpha, \beta$ の間にあります。

したがって、$\alpha < a < \beta$

$x^2 - 2(b+c-a)x + 2bc - a^2 = 0$

$x=a$ のとき $2(a-b)(a-c) = a^2 -2(b+c)a + 2bc + a^2$ となるので

$a^2 -2(b+c)a + 2bc + a^2 = 2(a-b)(a-c) > 0$

したがって、$\alpha < a < \beta$ である。

平方完成すると

$(x-(b+c-a))^2 - (b+c-a)^2 + 2bc - a^2 = 0$

$(x-(b+c-a))^2 = b^2+c^2+a^2 + 2bc-2ab-2ac-2bc+a^2 = (b-c)^2 + a^2$

$(x-(b+c-a))^2 = b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2a^2 = (a-b)^2 + (a-c)^2$

$\alpha = (b+c-a) - \sqrt{(b-a)(c-a)}$

$\beta = (b+c-a) + \sqrt{(b-a)(c-a)}$

解と係数の関係より、$b+c = a + \frac{\alpha + \beta}{2}$

$2bc = a^2 + \alpha \beta$

$a < b < c$

$b+c-a = \frac{\alpha + \beta}{2}$

頂点の$x$座標が $b+c-a$

3. 最終的な答え

$\alpha < a < b < c < \beta$

または

$\alpha < a < \beta$

$\alpha < b < \beta$

$\alpha < c < \beta$

かつ、$a < b < c$