与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は 2, 3, 11, 38, 102, ... となっています。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は 2, 3, 11, 38, 102, ... となっています。

2. 解き方の手順

まず、階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。これは、元の数列の隣り合う項の差を取ることで求められます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 3 = 8$

$b_3 = a_4 - a_3 = 38 - 11 = 27$

$b_4 = a_5 - a_4 = 102 - 38 = 64$

階差数列は 1, 8, 27, 64, ... となります。この数列は $n^3$ と推測できます。つまり、$b_n = n^3$ です。

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるために、以下の公式を利用します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ （$n \geq 2$ のとき）

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^3$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ \frac{(n-1)n}{2} \right\}^2 = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$ です。

$a_n = 2 + \frac{(n-1)^2 n^2}{4} = \frac{8 + (n^2 - 2n + 1)n^2}{4} = \frac{8 + n^4 - 2n^3 + n^2}{4} = \frac{n^4 - 2n^3 + n^2 + 8}{4}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1 - 2 + 1 + 8}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$n=2$ のとき、$a_2 = \frac{16 - 16 + 4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$n=3$ のとき、$a_3 = \frac{81 - 54 + 9 + 8}{4} = \frac{44}{4} = 11$

$n=4$ のとき、$a_4 = \frac{256 - 128 + 16 + 8}{4} = \frac{152}{4} = 38$

$n=5$ のとき、$a_5 = \frac{625 - 250 + 25 + 8}{4} = \frac{408}{4} = 102$

これで全ての項が一致したので、一般項は正しいと判断できます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^4 - 2n^3 + n^2 + 8}{4}$