与えられた数列の漸化式から一般項 $a_n$ を求める問題です。次の4つの数列について一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = 4^n$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = -2n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ (4) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 5^n$

1. 問題の内容

与えられた数列の漸化式から一般項 $a_n$ を求める問題です。次の4つの数列について一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = 4^n$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = -2n$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$

(4) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 5^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = 4^n$の場合

$a_{n+1} - a_n = 4^n$ は階差数列なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

$a_n = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1}$

$a_n = 1 + \frac{4}{3}(4^{n-1} - 1)$

$a_n = 1 + \frac{1}{3}(4^n - 4)$

$a_n = \frac{1}{3}(4^n - 1)$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{1}{3}(4^1 - 1) = \frac{3}{3} = 1$ となり、成り立つ。

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = -2n$の場合

$a_{n+1} - a_n = -2n$ は階差数列なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2k)$

$a_n = 1 - 2 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 1 - 2 \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 1 - n(n-1)$

$a_n = 1 - n^2 + n$

$a_n = -n^2 + n + 1$

$n=1$のとき、$a_1 = -1^2 + 1 + 1 = 1$ となり、成り立つ。

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$の場合

$a_{n+1} - a_n = 3n - 1$ は階差数列なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$

$a_n = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 3 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 1 + \frac{3}{2}(n^2 - n) - n + 1$

$a_n = 2 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n - n$

$a_n = 2 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n$

$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 2$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} + 2 = -1 + 2 = 1$ となり、成り立つ。

(4) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 5^n$の場合

$a_{n+1} - a_n = 5^n$ は階差数列なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^k$

$a_n = 2 + \frac{5(5^{n-1} - 1)}{5-1}$

$a_n = 2 + \frac{5}{4}(5^{n-1} - 1)$

$a_n = 2 + \frac{1}{4}(5^n - 5)$

$a_n = \frac{1}{4}(5^n + 3)$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{1}{4}(5^1 + 3) = \frac{8}{4} = 2$ となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{3}(4^n - 1)$

(2) $a_n = -n^2 + n + 1$

(3) $a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 2$

(4) $a_n = \frac{1}{4}(5^n + 3)$