与えられた2次式 $x^2 - (5y-2)x + 6y^2 - 5y + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 - (5y-2)x + 6y^2 - 5y + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ についての2次式と見て、因数分解を試みます。

まず、定数項 $6y^2 - 5y + 1$ を因数分解します。

$6y^2 - 5y + 1 = (2y - 1)(3y - 1)$

次に、与えられた2次式が $(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形に因数分解できると仮定します。

$x^2 - (5y - 2)x + (6y^2 - 5y + 1) = (x + Ay + B)(x + Cy + D)$

展開すると、

$x^2 + (A+C)yx + (B+D)x + (AC)y^2 + (AD+BC)y + BD$

となります。

係数を比較すると、

$A + C = -5$

$B + D = 2$

$AC = 6$

$AD + BC = -5$

$BD = 1$

となります。

$AC = 6$となるのは、例えば$A = -2, C = -3$のときです。このとき、$A + C = -5$も満たされます。

$BD = 1$となるのは、例えば$B = -1, D = -1$のときです。このとき、$B + D = -2$となります。なので$B = 1, D = 1$の場合を考えます。

$A = -2, C = -3, B = -1, D = -1$としたとき、

$AD + BC = (-2)(-1) + (-1)(-3) = 2 + 3 = 5$となり、条件を満たしません。

$6y^2 - 5y + 1 = (2y-1)(3y-1)$より、$-5y+2$を作れる組み合わせを考えます。

$(x - (2y - 1))(x - (3y - 1))$を展開すると、

$x^2 - (2y - 1 + 3y - 1)x + (2y - 1)(3y - 1)$

$= x^2 - (5y - 2)x + 6y^2 - 5y + 1$

となり、与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x - 2y + 1)(x - 3y + 1)$