数列 $\{a_n\}$ が与えられています。$a_1=4, a_2=2, a_3=4, a_4=2, a_5=4, a_6=2, ...$ という数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられています。$a_1=4, a_2=2, a_3=4, a_4=2, a_5=4, a_6=2, ...$ という数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は、4, 2, 4, 2, ... と交互に並んでいるので、nが奇数のとき4、nが偶数のとき2となることがわかります。したがって、一般項は以下のように表すことができます。

$a_n = \begin{cases} 4 & (n\text{が奇数のとき}) \\ 2 & (n\text{が偶数のとき}) \end{cases}$

または、三角関数を使って表現することもできます。

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるために、$a_n = A + B\cos(\frac{n-1}{2}\pi)$ の形で表すことを考えます。

$n=1$ のとき、$a_1 = 4$ なので、

$4 = A + B\cos(0) = A + B$

$n=2$ のとき、$a_2 = 2$ なので、

$2 = A + B\cos(\frac{\pi}{2}) = A$

したがって、$A = 2$ であり、$4 = 2 + B$ より $B = 2$ となります。

よって、$a_n = 2 + 2\cos(\frac{n-1}{2}\pi)$

3. 最終的な答え

$a_n = \begin{cases} 4 & (n\text{が奇数のとき}) \\ 2 & (n\text{が偶数のとき}) \end{cases}$

または

$a_n = 2 + 2\cos(\frac{n-1}{2}\pi)$