数列 $8, 6, 2, -4, -12, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $8, 6, 2, -4, -12, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を求める。

$6-8 = -2$

$2-6 = -4$

$-4-2 = -6$

$-12-(-4) = -8$

階差数列は $-2, -4, -6, -8, \dots$ となり、これは初項 $-2$、公差 $-2$ の等差数列である。

したがって、階差数列の一般項 $b_n$ は、

$b_n = -2 + (n-1)(-2) = -2 -2n + 2 = -2n$

数列 $a_n$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 8 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2k)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} (-2k) = -2 \sum_{k=1}^{n-1} k = -2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = -n(n-1) = -n^2 + n$

したがって、

$a_n = 8 + (-n^2 + n) = -n^2 + n + 8$

$n=1$のとき、$a_1 = -1^2 + 1 + 8 = -1 + 1 + 8 = 8$

$n=2$のとき、$a_2 = -2^2 + 2 + 8 = -4 + 2 + 8 = 6$

$n=3$のとき、$a_3 = -3^2 + 3 + 8 = -9 + 3 + 8 = 2$

$n=4$のとき、$a_4 = -4^2 + 4 + 8 = -16 + 4 + 8 = -4$

$n=5$のとき、$a_5 = -5^2 + 5 + 8 = -25 + 5 + 8 = -12$

3. 最終的な答え

$a_n = -n^2 + n + 8$