数列 $1, 2, 5, 12, 25, 46, 77, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 5, 12, 25, 46, 77, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。

元の数列を $a_n$ とし、その階差数列を $b_n$ とします。

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 5, a_4 = 12, a_5 = 25, a_6 = 46, a_7 = 77, \dots$

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 12 - 5 = 7$

$b_4 = a_5 - a_4 = 25 - 12 = 13$

$b_5 = a_6 - a_5 = 46 - 25 = 21$

$b_6 = a_7 - a_6 = 77 - 46 = 31$

したがって、階差数列は $1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots$ となります。

さらに、この階差数列の階差数列（つまり、第2階差数列）を考えます。

第2階差数列を $c_n$ とすると、

$c_1 = b_2 - b_1 = 3 - 1 = 2$

$c_2 = b_3 - b_2 = 7 - 3 = 4$

$c_3 = b_4 - b_3 = 13 - 7 = 6$

$c_4 = b_5 - b_4 = 21 - 13 = 8$

$c_5 = b_6 - b_5 = 31 - 21 = 10$

したがって、第2階差数列は $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ となります。

第2階差数列が等差数列になっているので、$a_n$ は3次式で表されると予想できます。

$a_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$ とおきます。

$a_1 = A + B + C + D = 1$

$a_2 = 8A + 4B + 2C + D = 2$

$a_3 = 27A + 9B + 3C + D = 5$

$a_4 = 64A + 16B + 4C + D = 12$

この連立方程式を解くのは少し手間がかかるので、別の方法を考えます。

第2階差数列は公差2の等差数列なので、$c_n = 2n$ と表せます。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k + 1) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$

$a_n = 1 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} - \frac{3n^2 - 3n}{6} + \frac{6n - 6}{6}$

$a_n = \frac{6 + 2n^3 - 3n^2 + n - 3n^2 + 3n + 6n - 6}{6} = \frac{2n^3 - 6n^2 + 10n}{6} = \frac{n^3 - 3n^2 + 5n}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 5n}{3}$