次の2直線のなす鋭角 $\alpha$ を求めよ。 (2) $2x-3y+1=0$, $-5x+y-4=0$

1. 問題の内容

次の2直線のなす鋭角 $\alpha$ を求めよ。

(2) $2x-3y+1=0$, $-5x+y-4=0$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の傾きを求めます。

$2x - 3y + 1 = 0$ より、$3y = 2x + 1$ なので、$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$。したがって、この直線の傾きは $m_1 = \frac{2}{3}$ です。

$-5x + y - 4 = 0$ より、$y = 5x + 4$。したがって、この直線の傾きは $m_2 = 5$ です。

次に、$\tan \theta$ を求めます。ここで、$\theta$ は2直線のなす角です。

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{5 - \frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3} \cdot 5} \right| = \left| \frac{\frac{15 - 2}{3}}{1 + \frac{10}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{13}{3}}{\frac{3 + 10}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{13}{3}}{\frac{13}{3}} \right| = 1$

$\tan \theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$ または $45^{\circ}$です。

2直線のなす鋭角を $\alpha$ とすると、$\alpha = \theta$ です。したがって、$\alpha = 45^{\circ}$ です。

3. 最終的な答え

$\alpha = 45^{\circ}$