一次関数 $y = -2x + 10$ のグラフが、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点をそれぞれ A, B とする。点 P($x$, $y$) が線分 AB 上を動くとき、次の問いに答えよ。 (1) $OP^2$ を $x$ の式で表せ。 (2) 線分 OP の長さの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

一次関数 $y = -2x + 10$ のグラフが、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点をそれぞれ A, B とする。点 P($x$, $y$) が線分 AB 上を動くとき、次の問いに答えよ。

(1) $OP^2$ を $x$ の式で表せ。

(2) 線分 OP の長さの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 P は線分 AB 上にあるので、$y = -2x + 10$ が成り立つ。

$OP^2 = x^2 + y^2$ であるから、$OP^2$ を $x$ の式で表すには、$y$ を $x$ の式で置き換えればよい。

$OP^2 = x^2 + (-2x + 10)^2 = x^2 + (4x^2 - 40x + 100) = 5x^2 - 40x + 100$

(2) OP の長さを最小にするには、$OP^2$ を最小にすればよい。

$OP^2 = 5x^2 - 40x + 100 = 5(x^2 - 8x) + 100 = 5(x^2 - 8x + 16 - 16) + 100 = 5(x - 4)^2 - 80 + 100 = 5(x - 4)^2 + 20$

$OP^2$ は $x = 4$ のとき最小値 20 をとる。

点 A の座標は、$y = 0$ を代入して、$0 = -2x + 10$ より、$x = 5$。

点 B の座標は、$x = 0$ を代入して、$y = 10$。

したがって、点 P($x$, $y$) は線分 AB 上にあるので、$0 \leq x \leq 5$。

$x = 4$ はこの範囲内にあるので、$OP^2$ の最小値は 20 である。

OP の長さは常に正であるので、OP の長さが最小になるのは、$OP^2$ が最小になるときである。

したがって、OP の長さの最小値は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $OP^2 = 5x^2 - 40x + 100$

(2) $2\sqrt{5}$