複素数平面上の3点A($z_1$), B($z_2$), C($z_3$)を頂点とする$\triangle ABC$の重心Gを表す複素数が$\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$であることを示す。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点A($z_1$), B($z_2$), C($z_3$)を頂点とする$\triangle ABC$の重心Gを表す複素数が$\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$であることを示す。

2. 解き方の手順

重心Gは、各頂点の座標の平均として表されます。

まず、線分BCの中点Mの座標を求めます。MはBとCの中点なので、その座標は$\frac{z_2 + z_3}{2}$となります。

次に、重心Gは線分AMを2:1に内分する点なので、その座標は以下の式で求められます。

$G = \frac{2M + 1A}{2+1} = \frac{2(\frac{z_2 + z_3}{2}) + z_1}{3} = \frac{z_2 + z_3 + z_1}{3} = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$

3. 最終的な答え

重心Gを表す複素数は$\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$であることが示された。