原点Oを出発し、x軸上を正の方向に秒速1cmで移動する点Pがある。関数 $y = \frac{1}{2}x$ と $y = 2x$ のグラフ上に、点Pとx座標が同じである点A, Bをとる。線分ABを一辺とする正方形ABCDを線分ABの右側に作るとき、以下の問いに答える。 (1) 点PがOを出発してからt秒後の線分ABの長さをtを用いて表す。 (2) 正方形の面積が16 cm^2 となるのは点PがOを出発してから何秒後か求める。 (3) 点PがOを出発してから2秒後にできる正方形と、4秒後にできる正方形が重なる部分の図形の面積を直線 $y = ax$ が2等分するとき、傾きaの値を求める。

1. 問題の内容

原点Oを出発し、x軸上を正の方向に秒速1cmで移動する点Pがある。関数 $y = \frac{1}{2}x$ と $y = 2x$ のグラフ上に、点Pとx座標が同じである点A, Bをとる。線分ABを一辺とする正方形ABCDを線分ABの右側に作るとき、以下の問いに答える。

(1) 点PがOを出発してからt秒後の線分ABの長さをtを用いて表す。

(2) 正方形の面積が16 cm^2 となるのは点PがOを出発してから何秒後か求める。

(3) 点PがOを出発してから2秒後にできる正方形と、4秒後にできる正方形が重なる部分の図形の面積を直線 $y = ax$ が2等分するとき、傾きaの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pのx座標はtである。点Aは $y = \frac{1}{2}x$ 上にあるので、点Aのy座標は $\frac{1}{2}t$ である。点Bは $y = 2x$ 上にあるので、点Bのy座標は $2t$ である。線分ABの長さは、点Bのy座標から点Aのy座標を引いたものなので、

$AB = 2t - \frac{1}{2}t = \frac{3}{2}t$ となる。

(2)

正方形の面積が16 cm^2 であるとき、$(\frac{3}{2}t)^2 = 16$ が成り立つ。

$\frac{9}{4}t^2 = 16$

$t^2 = \frac{16 \cdot 4}{9} = \frac{64}{9}$

$t = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}$

よって、$\frac{8}{3}$ 秒後である。

(3)

2秒後の正方形の一辺の長さは $\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ であり、4秒後の正方形の一辺の長さは $\frac{3}{2} \cdot 4 = 6$ である。

2秒後の正方形の左下の頂点の座標は (2, 1) で、4秒後の正方形の左下の頂点の座標は (4, 2) である。

重なる部分は一辺の長さが3の正方形である。なぜなら4秒後の正方形の左下の頂点(4,2)を基点とし、そこから一辺の長さが3の正方形が重なっているからである。したがって重なる部分の面積は $3 \times 3 = 9$ である。

直線 $y = ax$ が重なる部分の面積を2等分するとき、$y = ax$ は重なる部分の正方形の中心を通る。

重なる部分の正方形の中心の座標は $(\frac{4+7}{2}, \frac{2+5}{2}) = (\frac{11}{2}, \frac{7}{2})$ である。

したがって、$\frac{7}{2} = a \cdot \frac{11}{2}$

$a = \frac{7}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}t$

(2) $\frac{8}{3}$ 秒後

(3) $a = \frac{7}{11}$