一辺の長さが1の正四面体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

正四面体の体積を求めるには、底面積と高さが必要です。

(1) 底面積を求める。

底面は正三角形なので、一辺の長さが1の正三角形の面積を求めます。正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ で求められます。ここで、$a$ は正三角形の一辺の長さです。今回は $a = 1$ なので、底面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}$ です。

(2) 高さを求める。

正四面体の頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の正三角形の重心と一致します。正三角形の重心は、各頂点から対辺の中点へ引いた線分（中線）の交点です。正三角形の中線は、頂点から対辺へ下ろした垂線と一致します。

正三角形の重心は、中線を2:1に内分する点です。

まず、正三角形の高さを求めます。正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ で求められます。今回は $a = 1$ なので、高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

したがって、底面の正三角形の重心までの距離は、高さの $\frac{2}{3}$ 倍なので、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

次に、正四面体の高さを求めます。これは、ピタゴラスの定理を使って求めます。正四面体の高さ $h$ は、$h^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1^2$ を満たします。

$h^2 + \frac{3}{9} = 1$

$h^2 + \frac{1}{3} = 1$

$h^2 = \frac{2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) 体積を求める。

正四面体の体積は $\frac{1}{3} \times$ 底面積 $\times$ 高さ で求められます。

$V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{36} = \frac{3\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{12}$