複素数平面上の2点 $A(-1+2i)$ と $B(5+3i)$ が与えられています。 (i) 線分 $AB$ を $3:2$ に内分する点 $C$ を表す複素数を求めます。 (ii) 線分 $AB$ を $3:2$ に外分する点 $D$ を表す複素数を求めます。 (iii) $\triangle CDE$ の重心が原点となるような点 $E$ を表す複素数を求めます。

1. 問題の内容

複素数平面上の2点 $A(-1+2i)$ と $B(5+3i)$ が与えられています。

(i) 線分 $AB$ を $3:2$ に内分する点 $C$ を表す複素数を求めます。

(ii) 線分 $AB$ を $3:2$ に外分する点 $D$ を表す複素数を求めます。

(iii) $\triangle CDE$ の重心が原点となるような点 $E$ を表す複素数を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 線分 $AB$ を $3:2$ に内分する点 $C$ を表す複素数 $z_C$ は、内分公式を用いて計算します。

$z_C = \frac{2z_A + 3z_B}{3+2} = \frac{2(-1+2i) + 3(5+3i)}{5}$

(ii) 線分 $AB$ を $3:2$ に外分する点 $D$ を表す複素数 $z_D$ は、外分公式を用いて計算します。

$z_D = \frac{-2z_A + 3z_B}{3-2} = -2(-1+2i) + 3(5+3i)$

(iii) $\triangle CDE$ の重心が原点であるとき、$z_C + z_D + z_E = 0$ が成り立ちます。したがって、$z_E = -(z_C + z_D)$ となります。 $z_C$ と $z_D$ を計算した後、$z_E$ を求めます。

(i) 内分点の複素数 $z_C$ の計算

$z_C = \frac{2(-1+2i) + 3(5+3i)}{5} = \frac{-2+4i+15+9i}{5} = \frac{13+13i}{5} = \frac{13}{5} + \frac{13}{5}i$

(ii) 外分点の複素数 $z_D$ の計算

$z_D = -2(-1+2i) + 3(5+3i) = 2 - 4i + 15 + 9i = 17 + 5i$

(iii) 点 $E$ の複素数 $z_E$ の計算

$z_E = -(z_C + z_D) = -(\frac{13}{5} + \frac{13}{5}i + 17 + 5i) = -(\frac{13+85}{5} + \frac{13+25}{5}i) = -(\frac{98}{5} + \frac{38}{5}i) = -\frac{98}{5} - \frac{38}{5}i$

3. 最終的な答え

(i) 点 $C$ を表す複素数: $\frac{13}{5} + \frac{13}{5}i$

(ii) 点 $D$ を表す複素数: $17 + 5i$

(iii) 点 $E$ を表す複素数: $-\frac{98}{5} - \frac{38}{5}i$